このケースでは、mixi社に対して裁判手続外、裁判手続の両方を視野に入れて、まずは裁判手続外で削除請求を行うのがよいでしょう。裁判手続外での削除に応じてもらえない場合、裁判所に仮処分の申立てを行うことが考えられます。